--- parent: Theorems title: 定理集1 date: 2018-12-11 tags: 行列, 定理 --- # ヴァンデルモンドの行列式 ```math $$ det \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_1 & x_2 & & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & & x_n^{n-2} \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & & x_n^{n-2} \end{array}\right)=\prod_{i>j}(x_i - x_j) $$ ``` ---------------------------------------------------------------------------- (i) $n-1$で成り立つと仮定. $n$において,$i行-(i-1)行\times x_1$を$i=n,n-1,\cdots,1$の順に行う. ```math $$ \begin{split} (左辺)&=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 1(x_2 - x_1) & & 1(x_n - x_1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & x_2^{n-2}(x_2 - x_1) & \ldots & x_n^{n-2}(x_2 - x_1) \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{ccc} (x_2 - x_1) & \ldots & (x_n -x_1) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2}(x_2 - x_1) & \ldots & x_n^{n-2}(x_n - x_1) \end{array}\right|\quad (行列式の性質より) \\ &=\left|(x_2 - x_1)(x_3 - x_1)\ldots(x_n - x_1)\left(\begin{array}{ccc} 1 & \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2} & \ldots & x_n^{n-2} \end{array}\right)\right| \\ &=\left|(x_2 - x_1)(x_3 - x_1)\ldots(x_n - x_1)\right|\left|\begin{array}{ccc} 1 & \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2} & \ldots & x_n^{n-2} \end{array}\right| \quad(|AB|=|A||B|より)\\ &=(x_2 - x_1)(x_3 - x_1)\ldots(x_n - x_1)\left|\begin{array}{ccc} 1 & \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_2^{n-2} & \ldots & x_n^{n-2} \end{array}\right| \\ \end{split} $$ ``` $(n-1)$から$n$が示せた. (ii) $n=2$のとき ```math $$ \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{array}\right| = (x_2 - x_1) $$ ``` より成立 # 直交補空間 $n$次元空間$V$の部分空間$W$のすべてのベクトルと直交するベクトル全体を$W^\perp$として, これを$W$の直交補空間という. (つまり, $p \in W \quad q \in W^\perp$ならば, 内積$(p,q)=0$) このとき, 以下が成り立つ. a) $W^\perp$は$V$の部分空間 b) $W^\perp\cap W={0}$ ---------------------------------------------------------------------------- a) $x\in W, a,b \in W^\perp$ $(x,a)=(x,b)=0$を仮定 (i) 明らかに$0\in W^\perp$ (ii) ```math $$ \begin{split} (a+b, x) &= (a+b)\cdot x \\ &= ax + bx \\ &= 0 \quad (仮定より) \end{split} $$ ``` (iii) ```math $$ \begin{split} (ka, x) &= kax \\ &= 0 \quad (仮定より) \end{split} $$ ``` 以上から, $W^\perp \subset V$ b) $0\in W^\perp \cap W$は明らか $\bf{a} \neq 0, \bf{a} \in W^\perp \cap W$について ($\bf{a}=0$以外について) $\bf{a} \in W, W^\perp$ より ```math $$ \begin{split} (\bf{a}, \bf{a})&=0 \\ \bf{a} \cdot \bf{a} &= 0 \\ \bf{a} &= 0 \end{split} $$ ``` [部分空間] =========== ベクトル空間$V$野からではない部分集合$W$が和及びスカラー倍について閉じているとき $W$を$V$の部分空間という. (i) $0 \in W$ (ii) $a, b \in W \quad a+b \in W$ (iii) $a \in W \quad ka \in W \quad (k \in K)$ =========== # 直交射影 一次独立なベクトル$a, b$が与えられたとき, $b$の$a$への直交射影は, ```math $$x=\frac{(a,b)}{(a,a)} a$$ ``` と表せる. ![直交射影ベクトル](CURRENT_DIR/Images/ProjectionVec.png) ---------------------------------------------------------------------------- ```math $$ \begin{split} x=\lambda a \quad (\lambda は任意) \\ (b - \lambda a, a) &= 0 \\ (b - \lambda a) \cdot a &= 0 \\ (b,a) - \lambda (a, a) &= 0 \\ \lambda = \frac{(b,a)}{(a,a)} \end{split} $$ ``` よって, ```math $$x=\frac{(a,b)}{(a,a)} a$$ ``` # ユニタリ行列の行列式 ユニタリ行列$U$ $(UU^H=U^HU=I)$の行列式の絶対値は1 ---------------------------------------------------------------------------- ```math $$ \begin{split} |UU^H| &= |U||U^H| \\ &= |U||\overline{U}^T| \\ &= |U||\overline{U}| \quad (|A^T|=|A|) \\ &= \alpha \overline{\alpha} \\ &= |\alpha|^2 \end{split} $$ ``` $|UU^H|=1$より, ```math $$ \begin{split} |\alpha|^2 &= 1 \\ |\alpha| &= 1 \end{split} $$ ``` よって、$|U|=1$ [::NOTE] ======== * 実対称行列$A$は, エルミート行列$H$の一種 * 直交行列$P$は, ユニタリ行列$U$の一種 ======== # エルミート行列の固有値 エルミート行列$A$ $(A^H = A)$の固有値はすべて実数 ---------------------------------------------------------------------------- $Ax = \lambda x \quad$ ($x \neq 0$とする) ```math $$ \begin{split} x^H Ax &= x^H \lambda x \\ &= \lambda x^H x \end{split} $$ ``` ```math $$ \begin{split} x^H A^H x &= (Ax)^H x \\ &= (\lambda x)^H x \\ &= \overline{\lambda}x^H x \end{split} $$ ``` $x^H Ax=x^H A^H x$より, ```math $$ \lambda x^H x = \overline{\lambda}x^H x $$ ``` $\overline{\lambda}=\lambda$より, $\lambda$は実数. ($x^H x \neq 0$より) # 実対称行列の固有値 実対象行列A $(A=A^T)$の固有値はすべて実数 ---------------------------------------------------------------------------- エルミート行列の固有値はすべて実数 であることから, 成立する. # ユニタリ行列の固有値 ユニタリ行列$U$の固有値の絶対値は1 ($U^H U = U U^H = I$) ---------------------------------------------------------------------------- $Ux=\lambda x (x \neq 0)$とする. ```math $$ \begin{split} x^H Ux &= \lambda x^H x \\ &= \lambda x^H U^H U x \quad (U^HU=Iより) \\ &= \lambda (Ux)^H Ux \\ &= \lambda (\lambda x)^H Ux \quad (Ux=\lambda x より) \\ &= \lambda \overline{\lambda} x^H Ux \end{split} $$ ``` $x^H Ux = \lambda x^H x$より, ```math $$ \begin{split} (\lambda \overline{\lambda} - 1)x^H x &= 0 \\ \lambda \overline{\lambda} &= 1 \quad (x^H x \neq 0) \\ |\lambda|^2 &= 1 \\ |\lambda| &= 1 \quad (|\lambda | > 0 より) \end{split} $$ ``` # 直交行列の固有値 直交行列の固有値の絶対値は1 ($U^T U = U U^T = I$) ---------------------------------------------------------------------------- ユニタリ行列の固有値の絶対値は1であることより, 成立する. # エルミート行列の固有ベクトルの直交性 エルミート行列$A$において, 重複のない固有値に対応する固有ベクトルは直交する. ---------------------------------------------------------------------------- 次のように置く. ```math $$ \begin{split} Ax &= \lambda x \quad (x \neq 0) \\ Ay &= \mu y \quad (y \neq 0) \\ \lambda &\neq \mu \quad (重複のない固有値) \end{split} $$ ``` 次式が成立. ```math $$ y^H A x = \lambda y^H x $$ ``` また, これも成立. ```math $$ \begin{split} x^H A y &= \mu x^H y \\ (x^H A y)^H &= (\mu x^H y)^H \\ y^H A^H x &= \overline{\mu} y^H x \\ y^H A^H x &= \mu y^H x \quad (エルミート行列の固有値は実数) \\ y^H A x &= \mu y^H x \end{split} $$ ``` よって, ```math $$ \begin{split} (\lambda - \mu)y^H x &= 0 \\ y^H x &= 0 \quad (\lambda \neq \mu) \end{split} $$ ``` $x$と$y$は直交する. # 正規行列の固有値 $A$が正規行列($AA^H = A^H A$)のとき, $Ax=\lambda x$ならば, $A^H x = \overline{\lambda}x$ つまり, $A^H$の固有値は$\overline{\lambda}$である. ---------------------------------------------------------------------------- ```math $$ \begin{split} (Ax - \lambda x)^H (Ax - \lambda x) &= x^H(A^H - \overline{\lambda}I)(A - \lambda I)x \quad (x \neq 0)\\ &= x^H(A^H A - \lambda A^H - \overline{\lambda}A + |\lambda|^2)x \\ &= x^H(AA^H - \lambda A^H - \overline{\lambda}A + |\lambda|^2)x \\ &= x^H(A - \lambda I)(A^H - \overline{\lambda}I)x \\ &= ((A - \lambda I)^H x)^H (A - \lambda I)^Hx \end{split} $$ ``` また, $Ax=\lambda x$より, $(Ax - \lambda x)^H (Ax - \lambda x) = 0$ よって, ```math $$ \begin{split} (A - \lambda I)^H x &= 0 \\ A^H x &= \lambda^H x \\ A^H x &= \overline{\lambda}x \end{split} $$ ``` # 固有ベクトルの一次独立性 $A$の相異なる固有値に対応する固有ベクトルは一次独立である. 特に, $A$が正規行列ならば直交する. ---------------------------------------------------------------------------- 次のようにおく. ```math $$ \begin{split} Ax &= \lambda x \\ Ay &= \mu y \quad (\lambda \neq \mu)(x \neq 0, y \neq 0) \end{split} $$ ``` # 一次独立性 $\alpha x + \beta y =0 $について 次が成立. ```math $$ \begin{split} \alpha Ax + \beta Ay &= 0 \\ \alpha \lambda x + \beta \mu y &= 0 \end{split} $$ ``` 次も成立. ```math $$ \alpha \mu x + \beta \mu y = 0 $$ ``` 以上から, ```math $$ \begin{split} \alpha(\mu - \lambda)x &= 0 \\ \alpha = 0 \quad (\mu \neq \lambda, x \neq 0 より) \end{split} $$ ``` これを, $\alpha x + \beta y =0 $に代入 ```math $$ \begin{split} \beta y &= 0 \\ \beta &= 0 \quad (y \neq 0より) \end{split} $$ ``` 以上から, $x, y$は一次独立 # $A$が正規行列の場合 ```math $$ \begin{split} \overline{\mu}y^H x &= (\mu y)^H x \\\ &= (Ay)^H x \\ &= y^H A^H x \\ &= \overline{\lambda}y^H x \quad (A^H の固有値は\overline{\lambda}) \\ (\overline{\mu} - \overline{\lambda})y^H x &= 0 \\ y^H x &= 0 \quad (\overline{\mu} \neq \overline{\lambda}) \end{split} $$ ``` よって, 直交する. # 三角化 行列$A$が適当なユニタリ行列$U$を使って三角化つまり, 固有値を対角成分に持つ三角行列$S$に対して, $U^H AU=S$とできる. ただし, $A$の固有値$\lambda_i$に対応する固有ベクトルを$u_i$とすると, $U=(u_1 u_2 \ldots u_n)$である. 特に, $A$が正規行列ならば, $S$を対角行列に選ぶことができる. ```math $$ \begin{split} U^H A U &= S \\ \left(\begin{array}{c}u_1^H \\ u_2^H \\ \vdots \\ u_n^H\end{array}\right) A \left(\begin{array}{cccc}u_1 & u_2 & \ldots & u_n\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \Huge{*} \\ &\lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ \Huge{0} & & & \lambda_n \end{array}\right) \\ Au_i &= \lambda_i u_i \\ u_i^H u_j &= 0 \quad (i \neq j) \end{split} $$ ``` ---------------------------------------------------------------------------- 特に以下の証明 ```math $$ \begin{split} U^H AU &= S \\ UU^H AUU^H &= USU^H \\ A &= USU^H \end{split} $$ ``` $A^H$について ```math $$ \begin{split} A^H &= (USU^H)^H \\ &= US^HU^H \end{split} $$ ``` $AA^H=A^H A$なので, ($A$は正規行列なので) ```math $$ \begin{split} USU^H US^H U^H &= U S^H U^H U S U^H \\ USS^H U^H &= US^H SU^H \\ USS^H U^H U &= US^H SU^H U \quad (右からUをかける) \\ USS^H &= US^H S \\ SS^H &= S^H S \\ \left(\begin{array}{ccc} * & & \Huge{*} \\ & \ddots & \\ \Huge{0} & & * \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} * & & \Huge{0} \\ & \ddots & \\ \Huge{*} & & * \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{ccc} * & & \Huge{0} \\ & \ddots & \\ \Huge{*} & & * \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} * & & \Huge{*} \\ & \ddots & \\ \Huge{0} & & * \end{array}\right) \end{split} $$ ``` 数学的帰納法を用いての証明は略 ```math $$ S = \left(\begin{array}{ccc} * & & \Huge{0} \\ & \ddots & \\ \Huge{0} & & * \end{array}\right) $$ ``` # 対角化 行列$A(n \times n)$が適当な正則な行列$P$を使って対角化つまり, $P^{-1}AP$が 対角行列にできるための必要十分条件は, 固有値$\lambda_i$の重複度と 同じ数の独立な固有ベクトルが選べることである. このとき, 各固有ベクトル$v_i$は一次独立であり, $P=(v_1 v_2 \ldots v_n)$とすると, $P^{-1}AP=\Sigma=diag(\lambda_1 \lambda_2 \ldots \lambda_n$)となる. ---------------------------------------------------------------------------- # エルミート行列の対角化 $A$がエルミート行列ならば$P$をユニタリ行列に選ぶことができる. ---------------------------------------------------------------------------- エルミート行列$A$において, 重複のない固有値に対応する固有ベクトルは直交するので, 成立する. # 実対称行列の対角化 $A$が実対称行列ならば, $P$を直交行列に選ぶことができる. ---------------------------------------------------------------------------- # エルミート行列であるための必要十分条件 正規行列$A$がエルミート行列であるための必要十分条件は, $A$の固有値が実数であることである. ---------------------------------------------------------------------------- $A$がエルミート行列ならば, $A$の固有値が実数であることは証明済み. $A$の固有値が実数であるならば, $A$がエルミート行列であることについて. $A$が正規行列であることから, 対角化可能. ```math $$ \begin{split} U^H AU &= \Sigma = \left(\begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \Huge{0} \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ \Huge{0} & & & \lambda_n \end{array}\right) \\ (U^H A U)^H &= (\Sigma)^H \\ U^H A^H U &= \Sigma \\ U^H A^H U &= U^H A U \\ U U^H A^H U U^H &= U U^H A U U^H \\ A^H &= A \end{split} $$ ``` # ユニタリ行列であるための必要十分条件 正規行列$A$がユニタリ行列であるための必要十分条件は, $A$の固有値$\lambda_i$の絶対値が1であることである. ---------------------------------------------------------------------------- $A$がユニタリ行列ならば, $A$の固有値の絶対値が1であることは証明済み. $A$の固有値の絶対値が1ならば, $A$がユニタリ行列であることについて. $A$が正規行列であることから, 対角化可能. ```math $$ \begin{split} U^H AU &= \Sigma = \left(\begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \Huge{0} \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ \Huge{0} & & & \lambda_n \end{array}\right) \\ U^H A A^H U &= (U^H A U)(U^H A^H U) \\ &= \Sigma \Sigma^H \\ &= \left(\begin{array}{cccc} |\lambda_1|^2 & & & \Huge{0} \\ & |\lambda_2|^2 & & \\ & & \ddots & \\ \Huge{0} & & & |\lambda_n|^2 \end{array}\right) \\ &= I \\ UU^H AA^H UU^H &= UIU^H \\ AA^H &= I \end{split} $$ ``` [::NOTE] ========= $A^H = (\overline{A})^T$ ========= # トレースと行列式 a) $tr(AB) = tr(BA)$ b) $|AB| = |A||B| = |BA|$ ---------------------------------------------------------------------------- a)について ```math $$ \begin{split} tr(AB) &= \sum_{i=1}^m(AB)_{ii} \quad (A: m \times n, B: n \times m) \\ &= \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} \\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m B_{ji} A_{ij} \\ &= \sum_{j=1}^n (BA)_{jj} \\ &= tr(BA) \end{split} $$ ``` # トレースと固有値 $tr(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$ ---------------------------------------------------------------------------- ```math $$ \begin{split} U^H A U &= S \\ UU^H AUU^H &= USU^H \\ A &= USU^H \end{split} $$ ``` なので, ```math $$ \begin{split} tr(A) &= tr(USU^H) \\ &= tr(SU^H U) \quad tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)\\ &= \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n \end{split} $$ ``` [::NOTE] ======== 固有値の検算に最適 ======== # 行列式と固有値 $|A|=|USU^H|=|SUU^H|=\lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n$ ----------------------------------------------------------------------------