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title: 図で理解する変換行列と表現行列
date: 2019-11-26
tags: ベクトル, 定理, 行列, 図で理解
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線形代数にある線形写像, 基底の変換行列, 表現行列などを理解するとき,
今どこの座標系にいるのか, 基底は変わったのか, ここはベクトル空間かという悩みに会います.
本稿では, 変換行列や表現行列を図で理解することを目的にします.
行列の掛け算が点の移動であることを意識すると, 理解しやすくなります.
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# ベクトル空間
空でない集合$V$に, //和// および //スカラー倍// が定義されているとき,
$V$を //ベクトル空間//, $V$の要素を //ベクトル//といいます.
すなわち,
(i) $a, b \in V$に対して, $a+b\in V$ \\
(ii) $a\in V$ と $k \in K$ に対して, $ka \in V$
が定義されているとき$V$を//ベクトル空間//といいます.
(注):
$K$が実数体のとき $V$ を//実ベクトル空間//,
$K$が複素数体のとき$V$を//複素ベクトル空間//といいます.
# 数ベクトル空間
$n$次の列ベクトル$x={}^t\!(x_1 x_2 \ldots x_n)$の全体からなるベクトル空間を
$n$次元//数ベクトル空間//といい, その要素$x$を//数ベクトル//といいます.
特に, $x_n$が実数のとき, 数ベクトル空間は//実$n$次元数空間// $R^n$ といいます.
# 線形写像
$V$, $W$を$K$上のベクトル空間とします．
写像$f: V \rightarrow W$が次の(i), (ii)を満たすとき$V$から$W$への//線形写像//といいます．
(i) $f(a + b)=f(a) + f(b) \quad (a, b \in V)$\\
(ii) $f(ka) = kf(a) \quad (a \in V, k \in K)$
特に $V=W$のとき，//線形変換(一次変換)//といいます．
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図で考えていきましょう.
写像$f$によって，点$v(\in V)$を点$w(\in W)$移すとき，次の式で表せます．
```math
$$w = f(v)$$
```
図で表すと次のようになります．
また，$V=R^n, W=R^m$とするとき，$f$は行列$A(m \times n)$で表せます．
```math
$$w = Av $$
```
以上からわかるように, 移動元の点$v$の左から写像$A$をかけることで,
移動先である点$w$に移ります.
# 座標
$v$をベクトル空間$V$の任意のベクトルとし, ${\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_n}$を$V$の基底とします.
このとき, $v$は, 以下のように$\phi_1, \phi_2, \ldots , \phi_n$の
一次結合で一意的にあらわされます.
```math
\begin{eqnarray}
v=x_1 \phi_1 + x_2 \phi_2 + \ldots + x_n \phi_n \label{eq:v}
\end{eqnarray}
```
$x={}^t\!(x_1 x_2 \ldots x_n)$を, 基底${\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_n}$
に関する$v$の//座標//といいます.
---------------------
図で考えていきましょう.
$\phi_1, \phi_2, \ldots , \phi_n$ を横に並べたものを新しく行列$\phi = (\phi_1 \phi_2 \ldots \phi_n)$としたとき
式(\ref{eq:v}) は次のように変形できます.
```math
\begin{eqnarray}
v &=& x_1 \phi_1 + x_2 \phi_2 + \ldots + x_n \phi_n \nonumber \\
&=& (\phi_1 \phi_2 \ldots \phi_n)
\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right) \nonumber \\
&=& \phi x \nonumber
\end{eqnarray}
```
このことから, $\phi$は, 座標$x$が属している数ベクトル空間$R^n$から
ベクトル$v$が属するベクトル空間$V$へ移す写像とみれます.
<!--
$n$次の列ベクトル$a={}^t\!(a_1 a_2 \ldots a_n) $の全体からなるベクトル空間を$n$次元//数ベクトル空間//といい,
その要素$a$を//数ベクトル//という.
一次結合:
$a_1, a_2, \ldots , a_n \in V$, $k_1, k_2, \ldots, k_n \in K$に対して,
-->
# 基底の変換行列
ベクトル空間$V$の二つの基底を $\Phi_A=\{\phi^A_1, \cdots , \phi^A_n\}$, $\Phi_B=\{\phi^B_1, \cdots , \phi^B_n\}$とします.
$\Phi_A$から$\Phi_B$への基底の変換行列$P$は次のようになります(定義).
ただし, $\phi_A = (\phi^A_1 \cdots \phi^A_n)$, $\phi_B = (\phi^B_1 \cdots \phi^B_n)$とします.
```math
\begin{eqnarray}
\phi_B = \phi_A P \label{eq:basis-trans}
\end{eqnarray}
```
-------------------
図で考えていきましょう.
今, ベクトル$v$に対して二つの基底$\Phi_A$, $\Phi_B$をとりました.
基底をいくつとろうが, 示しているのは//一つのベクトル$v$//です.
ただ, 基底が二つあるので, 各基底ごとの//座標(数ベクトル)は二つ//現れます.
$v$について, 以下の二式が立てられます.
```math
\begin{eqnarray}
v = \phi_A x_A \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
v = \phi_B x_B \nonumber
\end{eqnarray}
```
よって,
```math
\begin{eqnarray}
\phi_A x_A &=& \phi_B x_B \nonumber \\
x_A &=& \phi_A^{-1} \phi_B x_B \nonumber
\end{eqnarray}
```
ここで, 式(\ref{eq:basis-trans})から, $P=\phi_A^{-1}\phi_B$なので,
上式は次のようになります.
```math
\begin{eqnarray}
x_A = P x_B \nonumber
\end{eqnarray}
```
上の式が意味するのは, //点$x_B$が行列$P$によって点$x_A$に移動する//ことです.
図に入れるとこうなります.
[同次変換行列]
=================
同次変換行列も同じ点に対して, 見ている座標系が違う意味で, 基底の変換行列の一種です.
点$x_B$を点$x_A$に移す変換行列${}^A\!T_B$があるとき, 図示すると次のようになります.
=================
# 表現行列
$V$, $W$ を $\mathbb{F}$上の有限次元ベクトル空間とし, $f:V \rightarrow W$を線形写像とします.
$V$, $W$の基底をそれぞれ$\Phi=\{\phi_1, \cdots , \phi_n\}$, $\Psi=\{\psi_1, \cdots , \psi_m\}$とします.
このとき, 以下の式を満たす行列$A$を$V$の基底$\Phi$,
$W$の基底$\Psi$に関する$f$の//表現行列//といいます(定義).
```math
\begin{eqnarray}
(f(\phi_1) \cdots f(\phi_n)) = (\psi_1 \cdots \psi_m)A \label{eq:rep}
\end{eqnarray}
```
--------------
図で考えていきましょう.
ベクトル空間$V$上のある点$v$が, 写像$f$によってベクトル空間$W$上の点$w$に移るとしましょう.
基底$\Phi$に関する$v$の座標を$x$,
基底$\Psi$に関する$w$の座標を$y$とします.
今までの, 線形写像の図示, 基底の変換行列の図示を踏まえて, 図示してみましょう.
$y$が$\psi$で$w$に移されることから, $w=\psi y$が成り立ちます.
両辺に$\psi^{-1}$をかけて, $y=\psi^{-1} w$が成り立ちます.
では, ここから右辺に$x$が出るまで, 展開していきます.
```math
\begin{eqnarray}
y &=& \psi^{-1} w \nonumber \\
&=& \psi^{-1} f(v) \quad (w = f(v) より) \nonumber \\
&=& \psi^{-1} f(\phi x) \quad (v = \phi x より) \nonumber
\end{eqnarray}
```
次に$f(\phi x)$の内部を展開していきます.
```math
\begin{eqnarray}
y &=& \psi^{-1} f(\phi x) \nonumber \\
&=& \psi^{-1} f((\phi_1 \phi_2 \cdots \phi_n)
\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right)) \nonumber \\
&=& \psi^{-1} f(x_1 \phi_1 + x_2 \phi_2 + \cdots + x_n \phi_n) \nonumber \\
&=& \psi^{-1} (f(x_1 \phi_1) + f(x_2 \phi_2) + \cdots + f(x_n \phi_n)) \quad (fの線形性より) \nonumber \\
&=& \psi^{-1} (x_1 f(\phi_1) + x_2 f(\phi_2) + \cdots + x_n f(\phi_n)) \quad (fの線形性より) \nonumber \\
&=& \psi^{-1} ( f(\phi_1) f(\phi_2) \cdots f(\phi_n) )
\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right) \nonumber \\
&=& \psi^{-1} (f(\phi_1) f(\phi_2) \cdots f(\phi_n)) x \label{eq:rep-sub-1}
\end{eqnarray}
```
また, 表現行列の定義式(\ref{eq:rep})の両辺に$\psi^{-1}$をかけて, 次式を得ます.
```math
\begin{eqnarray}
A=\psi^{-1} (f(\phi_1) f(\phi_2) \cdots f(\phi_n)) \label{eq:rep-sub-2}
\end{eqnarray}
```
式(\ref{eq:rep-sub-1}), 式(\ref{eq:rep-sub-2})から,
```math
\begin{eqnarray}
y=Ax \nonumber
\end{eqnarray}
```
上の式が意味するのは, 点$x$が表現行列$A$で点$y$に移ることです.
図示すると次のようになるでしょう.
# 全体像
以上をまとめて, 図示してみましょう.
[まとめ]
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=========
基本的に上のような図が書ければ, そのほかの諸定理も比較的簡単に導けます.
# 諸定理
$f: V \rightarrow W$を線形写像とする.
$f$の$V$の基底$\Phi_A = \{\phi^A_1, \cdots , \phi^A_n\}$,
$W$の基底$\Psi_B = \{\psi^A_1, \cdots , \psi^A_m\}$ に関する表現行列を$A$,
$f$の$V$の基底$\Phi_B = \{\phi^B_1, \cdots , \phi^B_n\}$,
$W$の基底$\Psi_B = \{\psi^B_1, \cdots , \psi^B_m\}$ に関する表現行列を$B$とすると,
$B=Q^{-1}AP$となる.
ただし, $P$は$\Phi_A$から$\Phi_B$への基底の変換行列, $Q$は$\Psi_A$から$\Psi_B$への基底の変換行列とする.
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もう一度全体像を見ます.
$x_B$から$y_B$への移動に注目します.
```math
\begin{eqnarray}
y_B &=& B x_B \nonumber \\
Q^{-1} y_A &=& BP^{-1}x_A \quad (y_A = Q y_B, x_A = P x_B なので) \nonumber \\
y_A &=& Q B P^{-1} x_A \nonumber
\end{eqnarray}
```
また, $y_A = A x_A$より,
```math
\begin{eqnarray}
A &=& Q B P^{-1} \nonumber \\
B &=& Q^{-1} A P \nonumber
\end{eqnarray}
```
以上.