ランクが1
$rank(A)=1$のとき, $A^2=\alpha A$を満たすスカラ$\alpha$はただ一つ存在する.
$\alpha \neq 1$ならば, $I-A$は正則である.
$rank(A)=1$より, $A=ab^H$
$$
\begin{split}
A^2 &= (ab^H)(ab^H) \\
&= (b^H a)ab^H \\
&= \alpha A \quad(\alpha=(b^H a)とおく)
\end{split}
$$
$\alpha$の一意性について
$A^2=\beta A$が存在するとする.($\alpha \neq \beta$)
$$
\begin{split}
\alpha A &= \beta A \\
(\alpha - \beta)A &= 0 \\
\alpha &= \beta \quad (A \neq 0 より(rank A = 1より))
\end{split}
$$
これは, $\alpha \neq \beta$に反す.
よって, $\beta$なし. $\alpha$は一意
$\alpha \neq 1$ならば…
$I-A$が正則でないとする.
$$
\begin{split}
(I-A)x &= 0 \quad(x \neq 0) \\
Ax &= x \quad(x \neq 0 より)
\end{split}
$$
$$
\begin{split}
x &= Ax \\
&= AAx \\
&= A^2 x \\
&= \alpha Ax \\
(\alpha - 1)x &= 0 \\
\alpha &= 1 \quad(x \neq 0より)
\end{split}
$$
$$
\begin{split}
\lnot (I-Aが正則) &\to \alpha=1 \\
\alpha \neq 1 &\to I-Aが正則
\end{split}
$$
ランクの定義8つ(引用) [1]$A$の正則(行列式が0でない)な小行列でサイズが最大なもののサイズ.
ex)
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 1 \\
2 & 4 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 3 & 3
\end{array}\right)
$$
について, 2x2の部分行列の1つ$\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 4 & 1\end{array}\right)$ は正則であるが, 3x3は非正則.
よって, $rank(A)=2$
$A$の一次独立な行ベクトルの最大本数
$A$の一次独立な列ベクトルの最大本数
階段系にした時に0でない成分が残る行
$$
\left(\begin{array}{cccccc}
1 & * & \ldots & & & \Huge{*} \\
& & 1 & * & \ldots & \\
& & & 1 & * & \ldots \\
\Huge{0} & & & & & \end{array}\right)
$$
ランク標準形にした時に1が並ぶ数
$A$に$ST$
$SAT=\left(\begin{array}{cc}I & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$
$dim(Im(A))=rank(A)$
$A$の0でない特異値の数($AA^Tの0でない固有値の数)
以下の条件を満たす最小の$r$
$2r$本の縦ベクトルが存在して$u_1, u_2, \cdots , u_r, v_1, v_2, \cdots , v_r$
$A=\sum_{k=1}^r u_k v_k^T$ と書ける.
行列の正則性5つ(引用) [2]$AB=BA=I$となる行列$B$が存在する
$det(A) \neq 0$
$AB=I$のとき
$$
\begin{split}
|AB| &= I \\
&= 1 \\
|AB| &= |A||B|
\end{split}
$$
よって, $|A| \neq 0$
$rank(A)=n$
行列式が0でない$S, T$
$$
\begin{split}
SAT=\left(\begin{array}{cc}I & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) \\
|SAT| &= \left|\begin{array}{cc}I & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right| \\
|S||A||T| &= \left|\begin{array}{cc}I & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right|
\end{split}
$$
$|A| \neq 0$より, $rank(A) = n$
$rank(A)=n$より, $|A| \neq 0$
$Ker(A) = \{0\}$
$rank(A)=n-dim(Ker(A))$ (次元定理)
$rank(A)=n$のとき, $dim(Ker(A)=0$
全ての$A$の固有値が0でない
$A$の固有値$\lambda_1, \cdots, \lambda_n$とすると,
$det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n$
$det(A) \neq 0$のとき, $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$で0はない.
$AB$と$BA$の固有値
$A,B(n \times n)$のとき, $AB$と$BA$は同一の固有値を持つ.
$$
\begin{split}
ABx &= \lambda x \quad (x \neq 0) \\
BABx &= \lambda Bx \\
BAy &= \lambda y
\end{split}
$$
交代行列の固有値
交代行列$(A^H = -A)or(A^T = -A)$の固有値は0あるいは, 純虚数である.
$$
\begin{split}
Ax &= \lambda x \\
x^H Ax &= \lambda x^H x \\
&= \lambda \quad(x^H x=1)
\end{split}
$$
両辺にエルミート共役をとって,
$$
\begin{split}
(x^H Ax)^H &= (\lambda)^H \\
x^H A^H x &= \overline{\lambda} \\
-x^H Ax &= \overline{\lambda}
\end{split}
$$
よって,
$$
\lambda = - \overline{\lambda}
$$
よって, $\lambda$は純虚数.
実行列の場合は, 固有値0
純虚数 $$
\begin{split}
a + bi &= -(a - bi) \\
&= -a + bi \\
a &= 0
\end{split}
$$
実行列の対称化
実行列$A$が対称でなくても, 2次形式で$x^TAx$で$A$を対称行列$(A + A^T)/2$に置き換えても, その値は変わらない.
$x^TAx=\alpha$とする.
$$
\left\{\begin{array}{l}
(x^T Ax)^T = x^T A^T x \\
(x^T Ax)^T = \alpha
\end{array}\right.
$$
より, $x^T A^T x = \alpha$
$$
\begin{split}
x^TAx + x^T A^T x &= 2\alpha \\
x^T(A+A^T)x &= 2\alpha \\
x^T(\frac{A+A^T}{2})x &= \alpha
\end{split}
$$
対称行列の対角化
$A$が対称行列ならば, 直交行列$P$で対角化可能
$P^{-1}AP=\Sigma, A=P\Sigma P^{-1}$とおける.
このとき, 2次形式は直交変換$y=P^Tx$によって, 次の書き換え可能.
$$x^TAx = x^T(P\Sigma P^T)x = x^TP\Sigma P^T x = y^T \Sigma y= \sum_i \lambda_i y_i^2$$
$A$が対称行列のとき固有値はすべて実数.
$$Aが正定 \equiv x^TAx>0 \equiv \lambda_i>0$$
エルミート行列の対角化
$A$がエルミート行列ならば, ユニタリ行列$U$で対角化可能
$A=U\Sigma U^{H}$とおける.
このとき, 2次形式は直交変換$y=U^Hx$によって, 次の書き換え可能. $\lambda_i$は実数($A$がエルミート行列より).
$$x^HAx = x^H(U\Sigma U^H)x = y^H \Sigma y= \sum_i \lambda_i |y_i|^2$$
二次形式
$x^H x = c$とする. 二次形式$x^H A x$について.
$$
\lambda_min(A) \leq \frac{x^H A x}{c} \leq \lambda_max(A)
$$
$$
\begin{split}
f &= x^H A x \\
&= \sum_i \lambda_i |y_i|^2 \quad (y=U^H x) \\
&= \lambda_1 |y_1|^2 + \lambda_2 |y_2|^2 + \cdots + \lambda_n |y_n|^2
\end{split}
$$
$$
\begin{split}
y^H y &= \left(\begin{array}{cccc}\overline{y_1} & \overline{y_2} & \cdots & \overline{y_n}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}
y_1 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right) \\
&= (U^H x)^H U^H x \\
&= x^H U U^H x \\
&= x^H x \\
&= c \quad(x^H x = c)
\end{split}
$$
$\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n$とすると,
$$
\begin{split}
f-c\lambda_1 &= \lambda_1 |y_1|^2 + \lambda_2 |y_2|^2 + \cdots + \lambda_n |y_n|^2 - \lambda_1(|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2) \\
&= (\lambda_2 - \lambda_1)|y_2|^2 + \cdots + (\lambda_n - \lambda_1)|y_n|^2 \\
&\geq 0 \quad((\lambda_2 - \lambda_1), (\lambda_n - \lambda_1) \geq 0より)
\end{split}
$$
$$
\begin{split}
f-c\lambda_n &= (\lambda_1 - \lambda_n)|y_1|^2 + (\lambda_2 - \lambda_n)|y_2|^2 + \cdots + (\lambda_{n-1} - \lambda_n)|y_{n-1}|^2 \\
&\leq 0
\end{split}
$$
準対称正定行列
$A:(n \times n)$, $B: (n \times n)$が準対称正定行列
(1) $\lambda_{min}(A) \lambda_{max}(B) \leq \lambda_{min}(A) trB$
(2) $\lambda_{min}(A) trB \leq tr(AB) \leq \lambda_{max}(A) trB$
(1)
$$trB = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n$$
$$\lambda_1 \cdots \lambda_n \geq 0 \quad (準正定行列)$$
$$\lambda_{max} \leq trB$$
(2)
$A$は対称行列より, $A=P\Sigma P^T$ ($P$は直交行列)
$$tr(AB)=tr(P\Sigma P^T B) = tr(\Sigma P^T B P)$$
$P=(x_1 \cdots x_n)$とすると, ($P^TBP$の$i,j$要素を$x_i^T B x_j$とする.)
$$
\begin{split}
tr\left(\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_1 & & \\
& \ddots & \\
& & \lambda_n
\end{array}\right)(x_i^T B x_j)\right) &= \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^T B x_i \\
&= \lambda_1 x_1^T B x_1 + \lambda_2 x_2^T B x_2 + \cdots + \lambda_n x_n^T B x_n
\end{split}
$$
$x_i^T B x_i \geq 0$なので, ($B$は準正定)
$$
\begin{split}
\sum_{i=1}^n \lambda_{min} x_i^T B x_i &\leq tr(AB) &\leq \sum_{i=1}^n \lambda_{max}x_i^T B x_i \\
\lambda_{min} trB &\leq tr(AB) &\leq \lambda_{max} trB
\end{split}
$$
NOTE$\sum_{i=1}^n x_i^T B x_i$は, $P^T BP$の対角成分の和.
$$
\begin{split}
x_1^T B x_1 + x_2^T B x_2 + \cdots + x_n^T B x_n &= tr\left(\left(\begin{array}{c}
x_1^T \\
\vdots \\
x_n^T
\end{array}\right)B(\begin{array}{ccc}x_1 & \cdots & x_n\end{array})\right) \\
&= tr(P^T B P) \\
&= tr(B P P^T) \\
&= trB
\end{split}
$$
- ^ 高校数学の美しい物語. 行列のランクの意味（８通りの同値な定義）(accessed: 2018/12/13)
- ^ 高校数学の美しい物語. 行列が正則であることの同値な条件と証明 (accessed: 2018/12/13)